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已知函數f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1（x∈R），其中t∈R．
（Ⅰ）當t=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）當t≠0時，求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）若函數f（x）在區間（0，1）內存在零點，求實數t的取值范圍．

已知曲線C的極坐標為ρ=2asinθ（a＜0），以極點為直角坐標原點，極軸為x軸正向建立平面直角坐標系．
（1）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）直線l的參數方程為

x= 1 2 t y=1+ 3 2 t

（t為參數），若直線l與曲線C相交于A，B兩點，當AB=2時，求實數a的值．

已知函數f（x）=x²-2x-8，若對一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，求實數m的取值范圍．

求值：
（1）tan15°
（2）sin²

π

8

-cos²

π

8

．

甲、乙、丙三個人獨立地翻譯同一份密碼，每人譯出此密碼的概率依次為0.4，0.35，0.3．設隨機變量X表示譯出此密碼的人數．求：
（1）恰好有2個人譯出此密碼的概率P（X=2）；   
（2）此密碼被譯出的概率P（X≥1）．

某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數：
①cos²13°+cos²73°-cos13°cos73°；
②cos²15°+cos²75°-cos15°cos75°；
③cos²40°+cos²100°-cos40°cos100°；
④cos²（-30°）+cos²30°-cos（-30°）cos30°；
⑤cos²（-12°）+cos²48°-cos（-12°）cos48°．
（1）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數；
（2）根據（1）的計算結果，將該同學的發現推廣為三角恒等式，并證明你的結論．

學校從參加高一年級期中考試的學生中抽出50名學生，并統計了他們的數學成績（成績均為整數且滿分為100分），數學成績分組及各組頻數如下：[40，50），2；[50，60），3；[60，70），14；[70，80），15；[80，90），12；[90，100]，4．
（1）在給出的樣本頻率分布表中，求A，B，C，D的值；
（2）估計成績在80分以上（含80分）學生的比例；
（3）為了幫助成績差的學生提高數學成績，學校決定成立“二幫一”小組，即從成績在[90，100]的學生中選兩位同學，共同幫助成績在[40，50）中的某一位同學．已知甲同學的成績為42分，乙同學的成績為95分，求甲、乙兩同學恰好被安排在同一小組的概率．
樣本頻率分布表：

分組	頻數	頻率
[40，50）	2	0.04
[50，60）	3	0.06
[60，70）	14	0.28
[70，80）	15	0.30
[80，90）	A	B
[90，100]	4	0.08
合計	C	D

求經過極坐標為（0，0），（6，

π

2

），（6

2

，

π

4

）三點的圓的直角坐標方程．

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n+1=kS_n+2（n∈N^*），且a₁=2，a₂=1．
（1）求k的值；
（2）求證{S_n-4}為等比數列；
（3）是否存在正整數m，n，使得

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

成立？若存在，求出這樣的正整數；若不存在，請說明理由．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過點（1，

3

2

），其離心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過坐標原點O作不與坐標軸重合的直線l交橢圓C于P、Q兩點，過P作x軸的垂線，垂足為D，連接QD并延長交橢圓C于點E，試判斷隨著l的轉動，直線PE與l的斜率的乘積是否為定值？說明理由．