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如圖，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁，右焦點為F₂，過F₁的直線交橢圓于A，B兩點，△ABF₂的周長為4

2

，且△AF₁F₂面積最大時，△AF₁F₂為直角三角形．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=2相交于點Q，證明：點M（1，0）在以PQ為直徑的圓上；
（3）試問，是否存在x軸上的點T（t，0），使得

TA

•

TB

為定值，若存在，求出T點的坐標，若不存在，說明理由．

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在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別是AD，DD₁的中點，AB=BC=2，過A₁，C₁，B三點的平面截去長方體的一個角后．得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁B₁C₁D₁，且這個幾何體的體積為

40

3

．
（1）求證：EF∥平面A₁B₁C₁；
（2）求A₁A的長；
（3）在線段BC₁上是否存在點P，使直線A₁P與C₁D垂直，如果存在，求線段A₁P的長，如果不存在，請說明理由．

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如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°AB=AD=2BC，△PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．

（Ⅰ）證明AD⊥PC
（Ⅱ）求二面角A-PD-C的余弦值．

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在平面直角坐標系xOy中，已知AB是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，記OM，AB的斜率分別為k_OM，k_AB，則k_OM•k_AB=-

b2

a2

．
（1）類比橢圓的上述性質，給出一個在雙曲線中也成立的性質；
（2）證明（1）中的結論．

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