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如圖所示，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、Q、R分別為A₁A、AB、AD的中點(diǎn)，求證：平面PQR∥平面CB₁D₁．

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2．
（1）求證：A₁C₁∥面ABCD；
（2）求AC₁與底面ABCD所成角的正切值．

某小區(qū)想利用一矩形空地ABCD建市民健身廣場(chǎng)，設(shè)計(jì)時(shí)決定保留空地邊上的一水塘（如圖中陰影部分），水塘可近似看作一個(gè)等腰直角三角形，其中AD=60m，AB=40m，且△EFG中，∠EGF=90°，經(jīng)測(cè)量得到AE=10m，EF=20m．為保證安全同時(shí)考慮美觀，健身廣場(chǎng)周圍準(zhǔn)備加設(shè)一個(gè)保護(hù)欄．設(shè)計(jì)時(shí)經(jīng)過點(diǎn)G作一直線交AB，DF于M，N，從而得到五邊形MBCDN的市民健身廣場(chǎng)，設(shè)DN=x（m）．
（1）將五邊形MBCDN的面積y表示為x的函數(shù)；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，市民健身廣場(chǎng)的面積最大？并求出最大面積．

已知函數(shù)f（x）=|x²-4x-5|，若在區(qū)間（-1，5）上，y=kx+3k的圖象位于函數(shù)f（x）的上方，求k的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）=

2x+3

3x

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（

1

an

）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1，求T_n．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑稱為M到N的一條“折線路徑”，所有“折線路徑”中長(zhǎng)度最小的稱為M到N的“折線距離”．如圖所示的路徑MD₁D₂D₃N與路徑MEN都是M到N的“折線路徑”．某地有三個(gè)居民區(qū)分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn)A（-8，1），B（5，2），C（1，14），現(xiàn)計(jì)劃在這個(gè)平面上某一點(diǎn)P（x，y）處修建一個(gè)超市．
（1）請(qǐng)寫出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“折線距離”d的表達(dá)式（用x，y表示，不要求證明）；
（2）為了方便居民，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置，使其到三個(gè)居民區(qū)的“折線距離”之和最小．

以直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位．已知點(diǎn)N的極坐標(biāo)為（2，

π

2

），m是曲線C：ρ²cos2θ+1=0上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P滿足

OP

=

OM

+

ON

，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線Q
（1）求曲線Q的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l：

x=-2-t y=2- 3 t

(t為參數(shù))與曲線Q的交點(diǎn)為A、B，求|AB|的長(zhǎng)．

已知集合A={x∈R|ax²-3x+2=0}，求集合P={a∈R|a使得A至少含有一個(gè)元素}．

已知α，β∈（0，

π

2

），sinα=

4

5

，tan（α-β）=-

1

3

，求cosβ的值．

已知n∈N⁺，求證：2ⁿ＞1+2+3+…+n．