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已知動點M到定點（1，0）的距離比M到定直線x=-2的距離小1．
（Ⅰ）求點M的軌跡曲線C的方程；
（Ⅱ）大家知道，過圓上任意一點P，任意作兩條相互垂直的弦PA，PB，則弦AB必過圓心（定點），受此啟發，過曲線C上一點P，任意作兩條相互垂直的弦PA，PB．
（ⅰ）若點P恰好是曲線C的頂點，則弦AB是否經過一個定點？若經過定點（設為Q），請求出Q點的坐標，否則說明理由；
（ⅱ）試探究：若改變曲線C的開口，且點P不是曲線C的頂點，（�。┲械慕Y論是否仍然成立？若成立，請給出一個使（ⅰ）中的結論成立的命題，并加以證明，否則說明理由．

某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮；現按同樣的規律刺繡（小正方形的擺放規律相同），設第n個圖形包含f（n）個小正方形．
（1）求f（5）的值；
（2）利用合情推理歸納出f（n+1）與f（n）的關系，并求f（n）的表達式；
（3）求證：

1

f(1)

+

1

f(2)+3

+

1

f(3)+5

+…+

1

f(n)+2n-1

＜

3n-1

2n

．

如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB，PC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：EF⊥CD；
（3）若PA=AD，求二面角P-DC-A的平面角的大�。�

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D、P為棱CC₁、BB₁的中點，O為△ABC重心，求證：OP∥平面AB₁D．

設P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是函數f（x）=

2x

2x+ 2

圖象上的兩點，記點P（

1

2

，y₀），且滿足

OP

=

1

2

（

OP1

+

OP2

）．
（1）求y₀；
（2）若S_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n

n

），其中n∈N^*，求S_n；
（3）若

n

Sn+ 2

＜a（S_n+1+

2

）對一切正整數n都成立，求實數a的取值范圍．

如圖：已知三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=

1

2

AB=2，N為AB上一點，AB=4AN，M，S分別為PB，BC的中點．
（1）求面MNC與面NCB所成的銳二面角的余弦值．
（2）在線段PA（包括端點）上是否存在一點Q，使SQ⊥平面MNC？若存在，確定Q的位置；若不存在，說明理由．

用二項式定理證明：
（1）2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4（n∈N^*）能被25整除；
（2）（

2

3

）^n-1＜

2

n+1

（n∈N^*，且n≥3）．

設m，n都是不等于1的正數，并且log_m3＞log_n3，試比較m，n的大小．

已知函數f（x）=a^x-

1

ax

，且a^tf（2t）+mf（t）≥0，求m的值．

已知橢圓E₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）橢圓E₂的中心在坐標原點，焦點在x軸上，其長軸長和短軸長分別是橢圓E₁長軸長和短軸長的

λ

倍（λ＞0，λ≠1）．
（Ⅰ）求橢圓E₂的方程；并證明橢圓E₁，E₂的離心率相同；
（Ⅱ）當λ=2時，設M，N是橢圓E₁上的兩個點，OM，ON的斜率分別是k_OM，k_ON，且k_OM•k_ON=-

b2

a2

（O是坐標原點），若OMPN是平行四邊形，證明：點P在橢圓E₂上．