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如圖所示，某人想制造一個支架，它由四根金屬桿PH，HA，HB，HC構成，其底端三點A，B，C均勻地固定在半徑為3m的圓O上（圓O在地面上），P，H，O三點相異且共線，PO與地面垂直．現要求點P到地面的距離恰為3

3

m，記用料總長為L=PH+HA+HB+HC，設∠HAO=θ．
（1）試將L表示為θ的函數，并注明定義域；
（2）當θ的正弦值是多少時，用料最省？

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如圖，正方形ABCD的邊長是a，依次連接正方形ABCD各邊中點得到一個新的正方形，再依次連接新正方形各邊中點又得到一個新的正方形，依此得到一系列的正方形，如圖所示．現有一只小蟲從A點出發，沿正方形的邊逆時針方向爬行，每遇到新正方形的頂點時，沿這個正方形的邊逆時針方向爬行，如此下去，問爬行2n條線段的長度的平方和是多少？

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某學校計劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個占地面積為S的矩形ADEF健身場地，如圖，A=

π

2

，∠ABC=

π

6

，點D在AC上，點E在斜邊BC上，且點F在AB上，AC=40米，設AD=x米．
（1）試用x表示S，并求S的取值范圍；
（2）若矩形健身場地面積不小于144

3

平方米，求x的取值范圍；
（3）設矩形健身場地每平方米的造價為

37

S

，再把矩形ADEF以外（陰影部分）鋪上草坪，每平方米的造價為

12

S

，求總造價T關于S的函數T=f（S）；并求出AD的長使總造價T最低（不要求求出最低造價）．

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某統計部門用“10分制”調查一社區人們對物業管理的“滿意度”．現從調查人群中隨機抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們的“滿意度”分數（以小數點前的一位數字為莖，小數點后的一位數字為葉）：
（Ⅰ）指出這組數據的眾數和中位數；
（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，則稱該人的“滿意度”為“極滿意”．
（i）求從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“極滿意”的概率；
（ii）以這16人的樣本數據來估計整個社區的總體數據，若從該社區（人數很多）任選3人，記ξ表示“極滿意”的人數，求ξ的分布列及數學期望．

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已知三棱錐A-BCD中，側棱長和底面邊長均相等，E為側棱AB的中點，求證：
（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC．

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