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已知△ABC的三內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，設向量

m

=（3c-b，a-b），

n

=（3a+3b，c），

m

∥

n

．
（1）求cosA的值；    
（2）求sin（2A+30°）的值．

如圖菱形ABEF所在平面與直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，點H是線段EF的中點．
（1）求證：平面AHC⊥平面BCE； 
（2）求此幾何體的體積．

已知矩陣M=

2 0 0 2

，記繞原點逆時針旋轉

π

4

的變換所對應的矩陣為N．
（Ⅰ）求矩陣N；    
（Ⅱ）若曲線C：xy=1在矩陣MN對應變換作用下得到曲線C′，求曲線C′的方程．

某校新生入學時該校選取甲、乙兩個高一新班（均為60人，入學數學平均分和優秀率都相同，勤奮程度和自覺性都一樣）分別采用A，B兩種方法教學，為了解A，B兩種教學方法的效果，現隨機抽取甲、乙兩班各20名學生的市統考數學成績（單位：分）如下：
甲班：58，57，59，92，71，82，65，82，74，67，74，67，68，85，83，78，81，69，73；
乙班：64，73，80，81，90，82，84，91，69，78，83，89，97，94，68，82，69，76，81，98．
（1）分別完成甲、乙兩班各20名學生的市統考數學成績的頻率分布表，并作出頻率分布直方圖，根據頻率分布直方圖判斷哪個班的優秀率高？（成績大于等于80分為優秀）
甲班

分組	頻數	頻率
[90，100]
[80，90）
[70，80）
[60，70）
[50，60）

乙班

分組	頻數	頻率
[90，100]
[80，90）
[70，80）
[60，70）
[50，60）

（2）現從甲、乙兩班各20名市統考數學成績不低于85分的學生中各抽出2人，若成績不低于90分的學生獎勵100元，否則獎勵50元，求獎金總數不少于310元的概率．

已知二階矩陣A有特征值λ₁=3及其對應的一個特征向量

a1

=

1 1

，特征值λ₂=-1及其對應的一個特征向量

a2

=

1 -1

，求矩陣A的逆矩陣A^-1．

某省物理學會為了研究高一學生物理成績與性別的關系，選取了一次模擬考試中某班級的30名男生和20名女生的物理成績，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，記80分以上（包含80分）為優秀，80分以下為非優秀．

（Ⅰ）根據頻率分布直方圖，若按90%的可靠性要求，能否認為“成績與性別有關系”？
（Ⅱ）從本班物理成績為優秀的學生中任取3人，記女生的人數為隨機變量X，求X的分布列和數學期望．
參考公式：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數據：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	2.706	3.841	5.024	6.635

已知點P（1+cosα，sinα），參數α∈[0，π]，點Q在曲線C：ρ=

10

2 sin(θ- π 4 )

上．
（Ⅰ）求在直角坐標系中點P的軌跡方程和曲線C的方程；
（Ⅱ）求|PQ|的最小值．

如圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC．
（1）求證：BE∥平面PDA；
（2）求證：平面PBD⊥平面PBE．

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BA⊥平面AA₁C₁C，AB=2

2

，AA₁=AC=4，∠A₁C₁C=

π

3

．
（1）求證：AB₁⊥BC；
（2）求直線B₁C₁與平面B₁A₁C所成的角；
（3）求點C₁到平面AB₁C的距離．

已知sinθ，cosθ是關于x的方程x²-ax+a=0（a∈R）的兩個根．
（1）求cos³（

π

2

-θ）+sin³（

π

2

-θ）的值；
（2）求tan（π-θ）-

1

tanθ

的值．