Question

已知函數f(x)＝ax－1－lnx(a∈R)．

(1)討論函數f(x)在定義域內的極值點的個數；

(2)若函數f(x)在x＝1處取得極值，對∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求實數b的取值范圍；

(3)當0<x<y<e²且x≠e時，試比較與的大小．

Answer 1

 [解析]　(1)f ′(x)＝a－＝，當a≤0時，f ′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，

∴f(x)在(0，＋∞)上沒有極值點；

當a>0時，由f ′(x)≤0得0<x≤，

由f ′(x)≥0得x≥，

∴f(x)在(0，]上單調遞減，在[，＋∞)上單調遞增，∴f(x)在x＝處有極小值．

∴當a≤0時f(x)在(0，＋∞)上沒有極值點，

當a>0時，f(x)在(0，＋∞)上有一個極值點．

(2)∵函數f(x)在x＝1處取得極值，∴a＝1，

∴f(x)≥bx－2⇔1＋－≥b，

令g(x)＝1＋－，則g′(x)＝－－＝，由g′(x)≥0得x≥e²，

由g′(x)≤0得0<x≤e²，因此可得g(x)在(0，e²]上單調遞減，在[e²，＋∞)上單調遞增，

∴g(x)_min＝g(e²)＝1－，即b≤1－.

(3)令h(x)＝－＝g(x)－1，

由(2)可知g(x)在(0，e²)上單調遞減，則h(x)在(0，e²)上單調遞減

∴當0<x<y<e²時，h(x)>h(y)，即>.

當0<x<e時，1－lnx>0，∴>，

當e<x<e²時，1－lnx<0，∴<.