Question

（2013•溫州二模）已知直線l：y=2x-2與拋物線M：y=x²的切線m平行
（I）求切線m的方程和切點A的坐標
（II）若點P是直線l上的一個動點，過點P作拋物線M的兩條切線，切點分別為B，C，同時分別與切線m交于點E，F試問

S△ABC

|EF|

是否為定值？若是，則求之，若不是，則說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函數y=x²的導函數，由切線的斜率等于2求出切點坐標，則切線方程可求；
（Ⅱ）設出點P，切點B，C，由導數得到過B，C的切線方程，兩切線方程聯立解得點P，由此可以得到B，C的橫坐標與P點坐標s，t的關系，由兩點式寫出BC的方程，則點A（1，1）到直線BC的距離可求，同樣把BC的長度轉化為含有s，t及B，C橫坐標的代數式，然后由P在直線y=2x-2上用s表示t，則三角形ABC的面積化為

1

2

|x1-x2|，再由兩條切線和（Ⅰ）中求出的切線m聯立解出E，F，由兩點間的距離公式求出|EF|，作比后進行約分，最終可證得

S△ABC

|EF|

為定值

5

5

．

解答：解：解：（I）設切點A(x0，x02)，切線斜率k=2x₀，
∴2x₀=2，x₀=1
∴A（1，1），切線m的方程為y=2x-1；
（II）設P（s，t），切點B(x1，x12)，C(x2，x22)，
∵y^′=2x，
∴切線PB，PC的方程分別是y=2x₁x-x12，y=2x2x-x22
聯立方程組

y=2x1x-x12 y=2x2x-x22

，得交點P（

x1+x2

2

，x1x2），即

s= x1+x2 2 t=x1x2

∵點P在直線l：y=2x-2上，即t=2s-2，2s-t=2
又∵直線BC的方程為y=（x₁+x₂）x-x₁x₂=2sx-t
∴點A（1，1）到直線BC的距離d=

|2s-1-t|

1+4s2

=

1

1+4s2

又由

y=2sx-t y=x2

得x²-2sx+t=0．
∴|BC|=

1+4s2

|x1-x2|．
∴S△ABC=

1

2

|BC|d=

1

2

|x1-x2|   
聯立方程組

y=2x1x-x12 y=2x-1

，得交點E(

x1+1

2

，x1)，
聯立方程組

y=2x2x-x22 y=2x-1

，得交點F(

x2+1

2

，x2)．
∴|EF|=

( x1+1 2 - x2+1 2 )2+(x1-x2)2

=

5

2

|x1-x2|
∴

S△ABC

|EF|

=

1 2 |x1-x2|

5 2 |x1-x2|

=

5

5

．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了利用導數求曲線上某點的切線方程，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、面積問題，考查了數形結合、分類討論、函數與方程的數學思想方法．是有一定難度題目．