Question

下列命題中的真命題為    ．
（1）復平面中滿足|z-2|-|z+2|=1的復數z的軌跡是雙曲線；
（2）當a在實數集R中變化時，復數z=a²+ai在復平面中的軌跡是一條拋物線；
（3）已知函數y=f（x），x∈R⁺和數列a_n=f（n），n∈N，則“數列a_n=f（n），n∈N遞增”是“函數y=f（x），x∈R⁺遞增”的必要非充分條件；
（4）在平面直角坐標系xoy中，將方程g（x，y）=0對應曲線按向量（1，2）平移，得到的新曲線的方程為g（x-1，y-2）=0；
（5）設平面直角坐標系xoy中方程F（x，y）=0表橢圓示一個，則總存在實常數p、q，使得方程F（px，qy）=0表示一個圓．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據雙曲線的定義可得：復數z的軌跡是雙曲線的一支．
（2）由題意可得：x=a²，y=a，所以消去參數a可得：y²=x，所以次曲線是一條拋物線．
（3）根據兩個函數的定義域之間的關系可得答案．
（4）由“按向量（1，2）平移”與口訣“左加右減，上加下減”之間的關系可得答案．
（5）根據橢圓的方程與圓的方程之間的關系可得（5）正確．
解答：解：（1）根據雙曲線的定義可得：滿足|z-2|-|z+2|=1的復數z的軌跡是雙曲線的一支，所以（1）錯誤．
（2）由復數z=a²+ai可得：x=a²，y=a，所以消去參數a可得：y²=x，所以次曲線是一條拋物線，所以（2）正確．
（3）因為N?R⁺，并且函數a_n=f（n）的定義域為n∈N，函數y=f（x）的定義域為x∈R⁺，所以“函數y=f（x），x∈R⁺遞增”⇒“數列a_n=f（n），n∈N遞增”，但是反之則不成立，所以（3）正確．
（4）按向量（1，2）平移，即為圖象先向右平移1個單位，再向上平移2個單位，所以得到的新曲線的方程為g（x-1，y-2）=0，所以（4）正確．
（5）根據橢圓的方程與圓的方程之間的關系可得（5）正確．
故答案為：（2）（3）（4）（5）．
點評：本題主要考查雙曲線的定義、橢圓與圓的方程之間的關系，以及函數圖象“按向量平移”與口訣“左加右減，上加下減”之間的關系等知識點，此題屬于基礎題．