Question

三個女生和四個男生排成一排．
（1）如果女生必須全排在一起，有多少種不同的排法？
（2）如果女生必須全分開，有多少種不的排法？
（3）如果兩端都不能排女生，有多少種不同的排法？
（4）如果兩端不能都排女生，有多少種不同的排法？
（5）如果最高的站中間，兩邊均按從高到低排列，有多少種不同的排法？
（6）如果四個男同學按從高到低排列，有多少種不同的排法？

Answer 1

分析：（1）用捆綁法，分兩步進行，先3名女生看為一個整體，再將其與4名男生進行全排列，分別求出其情況數目，進而由分步計數原理計算可得答案；
（2）用插空法，分兩步進行，先將4名男生全排列，有5個空位，在5個空位中任選3個，安排3名女生，分別求出其情況數目，進而由分步計數原理計算可得答案；
（3）分兩步進行，首先在4名男生中任取2人，安排在兩端，再將剩余的5人安排在其他5個位置，分別求出其情況數目，進而由分步計數原理計算可得答案；
（4）用排除法，首先計算7人進行全排列的情況數目，再計算兩端都站女生即先在3名女生中任取2人，再將剩余的5人安排在其他5個位置，的情況數目，用排除法即可得答案；
（5）只需將最高的人放在中間，在剩余的6人中任取3人放在左邊，其他的3人放在右邊，分析左右兩邊的順序情況即可得答案；
（6）分兩步進行，先在7個位置中安排3名女生，再將剩余4個位置安排4名男生，分別求出其情況數目，進而由分步計數原理計算可得答案．

解答：解：（1）根據題意，用捆綁法，3名女生看為一個整體，考慮其順序有A₃³種情況，
再將其與4名男生進行全排列，有A₅⁵種情況，
則共有A₅⁵×A₃³=720種排法；
（2）用插空法，先將4名男生全排列，有A₄⁴種情況，
排好后，有5個空位，在其中任選3個，安排3名女生，有A₅³種情況，
則共有

A

4 4

•

A

3 5

=1440種排法；
（3）在4名男生中任取2人，安排在兩端，有2C₄²種情況，
再將剩余的5人安排在中間的5個位置，有A₅⁵種情況，
則共有2C₄²×A₅⁵=1440種排法；
（4）用排除法，
7人進行全排列，有A₇⁷種排法，
兩端都站女生，即先在3名女生中任取2人，再將剩余的5人安排在其他5個位置，有A₃²•A₅⁵種站法，
則共有

A

7 7

-

A

2 3

•

A

5 5

=4320種排法；
（5）只需將最高的人放在中間，在剩余的6人中任取3人放在左邊，其他的3人放在右邊，
由于順序固定，則左右兩邊只有一種排法，
則有

C

3 6

=20種排法；  
（6）先在7個位置中安排3名女生，有A₇³種排法，
剩余4個位置安排4名男生，有2種情況，
則有2

A

3 7

=420種排法．

點評：本題考查排列、組合的運用，注意優先分析特殊位置、特殊元素；其次要掌握不相鄰問題采用插空法，相鄰問題采用捆綁法等常見問題的處理方法．