Question

已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設橢圓的左右頂點分別是A、B，過點的動直線與橢圓交于M，N兩點，連接AN、BM相交于G點，試求點G的橫坐標的值.

Answer 1

（1）橢圓C方程是；（2）G的橫坐標的值為8.

試題分析：（1）由，又點在橢圓上，所以，這樣便得一方程組，解這個方程組求出a、b的值，即可得橢圓C的方程；（2）首先考慮直線MN垂直于軸的情況，易得此時交點為，由此可知，點G的橫坐標應當為8.當直線MN不垂直軸時，設直線MN：，.由A、N、G三點共線有，由A、N、G三點共線有，有，即，化簡，當時化簡得.接下來聯立直線MN與橢圓方程再用韋達定理代入此等式驗證即可.
（1）由，又點在橢圓上，所以解得，則橢圓C方程是；                   .3分
（2）當直線MN垂直于軸，交點為，
由題知直線AN：，直線MB：，交點     .5分
當直線MN不垂直軸時，設直線MN：，
聯立直線MN與橢圓方程得
，        .7分
因為，由A、N、G三點共線有
同理，由A、N、G三點共線有
有，即，化簡，驗證當時化簡得帶入韋達定理恒成立，因此G的橫坐標的值為8.   13分