Question

在五棱錐P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=2

2

a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．
（1）求證：PA⊥平面ABCDE；
（2）求二面角A-PD-E的大小；
（3）求點(diǎn)C到平面PDE的距離．

Answer 1

分析：（1）證明直線與平面垂直，關(guān)鍵要找到兩條相交直線與之都垂直，利用題目提供的線段的長(zhǎng)度關(guān)系由勾股定理即可得到線線垂直關(guān)系．
（2）要求二面角A-PD-E的大小先利用二面角的平面角的定義在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作棱的垂線，得到其平面角，然后通過解三角形解得其平面角的大小．
（3）先利用線面平行將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為線面之間的距離，然后探討該直線上另一點(diǎn)到平面的距離，利用線面垂直，面面垂直的性質(zhì)得到點(diǎn)到平面的距離，要求學(xué)生能靈活應(yīng)用平行，垂直的關(guān)系．

解答：（1）證明∵PA=AB=2a，PB=2

2

a，
∴PA²+AB²=PB²，∴∠PAB=90°，即PA⊥AB．
同理PA⊥AE．
∵AB∩AE=A，
∴PA⊥平面ABCDE．

（2）∵∠AED=90°，∴AE⊥ED．
∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．
∴ED⊥平面PAE．過A作AG⊥PE于G，
∴DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE．
過G作GH⊥PD于H，連AH，
由三垂線定理得AH⊥PD．
∴∠AHG為二面角A-PD-E的平面角．
在直角△PAE中，AG=

2

a．在直角△PAD中，AH=

2 5

3

a，
∴在直角△AHG中，sin∠AHG=

AG

AH

=

3 10

10

．
∴∠AHG=arcsin

3 10

10

．
∴二面角A-PD-E的大小為arcsin

3 10

10

．
（3）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°，BC=DE=a，AB=AE=2a，
取AE中點(diǎn)F，連CF，
∵AF∥=BC，
∴四邊形ABCF為平行四邊形．
∴CF∥AB，而AB∥DE，
∴CF∥DE，而DE?平面PDE，CF?平面PDE，
∴CF∥平面PDE．
∴點(diǎn)C到平面PDE的距離等于F到平面PDE的距離．
∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．
又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．
∴平面PAE⊥平面PDE．
∴過F作FG⊥PE于G，則FG⊥平面PDE．
∴FG的長(zhǎng)即F點(diǎn)到平面PDE的距離．
在△PAE中，PA=AE=2a，F(xiàn)為AE中點(diǎn)，F(xiàn)G⊥PE，
∴FG=

2

2

a．
∴點(diǎn)C到平面PDE的距離為

2

2

a．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量、點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是個(gè)中檔題．