Question

(本小題滿分10分)已知等差數列{a_n}的首項a₁＝1，公差d＞0，且第2項、第5項、第14項分別是一個等比數列的第二項、第三項、第四項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設＝（n∈N^*），＝b₁＋b₂＋…＋b_n，是否存在最大的整數t，使得任意的n均有總成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意得（a₁＋d）（a₁＋13d）=（a₁＋4d）²， ……………… 2 分
整理得2a₁d＝d²．
∵a₁＝1，解得（d＝0舍），d＝2． ………………………………………… 4 分
∴a_n＝2n－1（n∈N^*）．  …………………………………………………… 5 分
（Ⅱ）b_n＝＝＝（－），
∴S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n＝［（1－）＋（－）＋…＋（－）］
＝（1－）＝．  …………………………………… 8 分
假設存在整數t滿足S_n＞總成立.
又S_n+1－S_n＝－＝＞0，
∴數列{S_n}是單調遞增的．  
∴S₁＝為S_n的最小值，故＜，即t＜9．
∵t∈N^*，
∴適合條件的t的最大值為8．  ……………………………… 10分

略