Question

甲乙兩人進行圍棋比賽行約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止．設甲在每局中獲勝的概率為P（P＞

1

2

），且各局勝負相互獨立．已知第二局比賽結束時比賽停止的概率為

5

9

．若圖為統計這次比賽的局數n和甲、乙的總得分數S、T的程序框圖．其中如果甲獲勝，輸入a=1，b=0；如果乙獲勝，則輸入a=0，b=1．
（Ⅰ）在圖中，第一、第二兩個判斷框應分別填寫什么條件？
（Ⅱ）求P的值；
（Ⅲ）求比賽到第4局時停止的概率P₄，以及比賽到第6局時停止的概率p₆．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據規則，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止，而這2個條件框是用來終止運算的，由此可得程序框圖中的第一個條件框和第二個條件框應填的條件．
（Ⅱ）依題意可得 P²+（1-P）²=

5

9

，再由P＞

1

2

，求得P的值．
（Ⅲ）設每兩局比賽為一輪，則一輪結束，比賽終止的概率為

5

9

，比賽沒有終止的概率為

4

9

．故比賽到第4局時停止的概率P₄ =（1-

5

9

）×

5

9

，p₆=（1-

5

9

）×（1-

5

9

）×1，運算求得結果．

解答：解：（Ⅰ）根據規則，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止，
而這2個條件框是用來終止運算的，
故程序框圖中的第一個條件框應填M=2，第二個應填n=6．
注意：答案不唯一．如：第一個條件框填M＞1，第二個條件框填n＞5，或者第一、第二條件互換，都可以．
（Ⅱ）依題意，當甲連勝2局或乙連勝2局時，第二局比賽結束時比賽結束．
故有 P²+（1-P）²=

5

9

，解得 P=

2

3

，或 P=

1

3

．
再由P＞

1

2

，可得P=

2

3

．
（Ⅲ）設每兩局比賽為一輪，則由題意可得，一輪結束時，比賽終止的概率為

5

9

，
若比賽到第4局時停止，說明第一輪比賽中甲乙二人各的一分，此時，
該輪比賽的結果對下一輪比賽是否停止沒有影響．
故比賽到第4局時停止的概率P₄ =（1-

5

9

）×

5

9

=

20

81

，
比賽到第6局時停止的概率p₆=（1-

5

9

）×（1-

5

9

）×1=

16

81

．

點評：本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，所求的事件與它的對立事件概率間的關系，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．