Question

設函數f(x)=lg(ax)•lg

a

x2

（1）當a=0.1，求f（1000）的值．
（2）若f（10）=10，求a的值；
（3）若對一切正實數x恒有f(x)≤

9

8

，求a的范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=0.1時，f（x）=lg（0.1x）•lg

1

10x2

，把x=1000代入可求
（2）由f（10）=lg（10a）•lg

a

100

=（1+lga）（lga-2）=lg²a-lga-2=10可求lga，進而可求a
（3）由對一切正實數x恒有f(x)≤

9

8

可得lg（ax）•lg

a

x2

≤

9

8

對一切正實數恒成立，整理可得2lg2x+lgalgx-lg2a+

9

8

≥0對任意正實數x恒成立，由x＞0，lgx∈R，結合二次函數的性質可得，△=lg2a-8(

9

8

-lg2a)≤0，從而可求

解答：解：（1）當a=0.1時，f（x）=lg（0.1x）•lg

1

10x2

∴f（1000）=lg100•lg

1

107

=2×（-7）=-14
（2）∵f（10）=lg（10a）•lg

a

100

=（1+lga）（lga-2）=lg²a-lga-2=10
∴lg²a-lga-12=0
∴（lga-4）（lga+3）=0
∴lga=4或lga=-3
a=10⁴或a=10^-3
（3）∵對一切正實數x恒有f(x)≤

9

8

∴lg（ax）•lg

a

x2

≤

9

8

對一切正實數恒成立
即（lga+lgx）（lga-2lgx）≤

9

8

∴2lg2x+lgalgx-lg2a+

9

8

≥0對任意正實數x恒成立
∵x＞0，∴lgx∈R
由二次函數的性質可得，△=lg2a-8(

9

8

-lg2a)≤0
∴lg²a≤1
∴-1≤lga≤1
∴

1

10

≤a≤10

點評：本題主要考查了對數的基本運算性質的應用，二次函數恒成立問題的求解，屬于基本公式及基本方法的簡單應用．