Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F₁、F₂、B，我們稱△F₁BF₂為橢圓C的特征三角形．如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱這兩個(gè)橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C₁

x2

a2

+

y2

b2

=1以拋物線y2=4

3

x的焦點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4．（1）若橢圓C₂與橢圓C₁相似，且相似比為2，求橢圓C₂的方程．
（2）已知點(diǎn)P（m，n）（mn≠0）是橢圓C₁上的任一點(diǎn)，若點(diǎn)Q是直線y=nx與拋物線x2=

1

mn

y異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，證明點(diǎn)Q一定落在雙曲線4x²-4y²=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C₁相似且短半軸長(zhǎng)為b的橢圓為C_b，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線C_b上，若存在求出函數(shù)f（b）=S_ABCD的解析式及定義域，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件知：PF₁|+|PF₂|=2a=4，所以橢圓C₁：

x2

4

+y2=1．設(shè)C₂：

x2

a 2 2

+

y2

b 2 2

=1，由相似比為2可求出橢圓C₂的方程．（2）由題設(shè)條件知

m2

4

+n2=1，設(shè)點(diǎn)Q（x₀，y₀），由題設(shè)條件能推出4

x

2 0

-4

y

2 0

=

4

m2

-

4n2

m2

=

4(1-n2)

m2

=

4• m2 4

m2

=1，
由此可知點(diǎn)Q在雙曲線4x²-4y²=1上．
（3）橢圓C₁：

x2

4

+y2=1，相似比為b，則橢圓C_b的方程為：

x2

4b2

+

y2

b2

=1．由題意：只需C_b上存在兩點(diǎn)B、D關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱即可．設(shè)BD：y=-x+m，設(shè)BD中點(diǎn)為E（x₀，y₀），B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）

y=-x+m x2-4y2=4b2

?5x2-8mx+4m2-4b2=0，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答：解：（1）橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F1(

3

，0)，|PF₁|+|PF₂|=2a=4，所以橢圓C₁：

x2

4

+y2=1
設(shè)C₂：

x2

a 2 2

+

y2

b 2 2

=1，相似比為2，a₂=4；b₂=2，所以橢圓C₂：

x2

16

+

y2

4

=1
（2）點(diǎn)P（m，n）在橢圓上，則

m2

4

+n2=1，設(shè)點(diǎn)Q（x₀，y₀）

y0=nx0 x 2 0 = 1 mn y0

?

x0= 1 m y0= n m

（7分）4

x

2 0

-4

y

2 0

=

4

m2

-

4n2

m2

=

4(1-n2)

m2

=

4• m2 4

m2

=1，
所以點(diǎn)Q在雙曲線4x²-4y²=1上
（3）橢圓C₁：

x2

4

+y2=1，相似比為b，則橢圓C_b的方程為：

x2

4b2

+

y2

b2

=1（11分）
由題意：只需C_b上存在兩點(diǎn)B、D關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱即可
設(shè)BD：y=-x+m，設(shè)BD中點(diǎn)為E（x₀，y₀），B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）

y=-x+m x2-4y2=4b2

?5x2-8mx+4m2-4b2=0，
△=64m²-16×5×（m²-b²）＞0?5b²＞m²（13分）
由韋達(dá)定理知：x0=

4m

5

，y0=-x0+m=

1

5

m，
E（x₀，y₀）在直線y=x+1上，
則

m

5

=

4m

5

+1?m=-

5

3

，所以b2＞

9

5

?b＞

3 5

5

（15分）
此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為

|BD|

2

，所以正方形的面積為f(b)=(

|BD|

2

)2|BD|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 2

5

5b2- 25 9

所以f(b)=

16

5

b2-

16

9

(b＞

3 5

5

)

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其綜合應(yīng)用，難度較大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，避免出現(xiàn)不必要的錯(cuò)誤．