Question

設f（x）=|lgx|，a，b為實數，且0＜a＜b．
（1）求方程f（x）=1的解；
（2）若a，b滿足f(a)=f(b)=2f(

a+b

2

)，求證：①a•b=1；②

a+b

2

＞1．
（3）在（2）的條件下，求證：由關系式f(b)=2f(

a+b

2

)所得到的關于b的方程h（b）=0，存在b₀∈（3，4），使h（b₀）=0．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=1得，lgx=±1，由此能求出方程f（x）=1的解．
（2）結合函數圖象，由f（a）=f（b），知a∈（0，1），b∈（1，+∞），從而ab=-1．由

a+b

2

=

1 b +b

2

，構造函數?(b)=

1

b

+b(b∈(1，+∞)能夠證明

a+b

2

＞1．
（3）由b=（

a+b

2

）²，得4b=a²+b²+2ab，令g（b）=

1

b2

+b2+2-4b，能推導出方程

1

b2

+b2+2-4b=0存在3＜b＜4的根．

解答：（1）解：由f（x）=1得，lgx=±1，
所以x=10，或x=

1

10

．…（3分）
（2）證明：結合函數圖象，由f（a）=f（b），
知a∈（0，1），b∈（1，+∞），…（4分）
從而-lga=lgb，從而ab=-1．…（5分）
又

a+b

2

=

1 b +b

2

，…（6分）
令?(b)=

1

b

+b(b∈(1，+∞)．…（7分）
任取1＜b₁＜b₂，
∵∅（b₁）-∅（b₂）=（b₁-b₂）（1-

1

b1b2

）＜0，
∴∅（b₁）＜∅（b₂），
∴∅（b）在（1，+∞）上為增函數．
∴∅（b）＞∅（1）=2．…（9分）
所以

a+b

2

＞1．…（10分）
（3）解：由b=（

a+b

2

）²，
得4b=a²+b²+2ab，…（11分）

1

b2

+b2+2-4b=0，
令g（b）=

1

b2

+b2+2-4b，…（12分）
因為g（3）＜0，g（4）＞0，根據零點存在性定理知，…（13分）
函數g（b）在（3，4）內一定存在零點，
即方程

1

b2

+b2+2-4b=0存在3＜b＜4的根．…（14分）

點評：本題考查方程的解的求法，考查不等式的證明，考查零瞇存在定理的應用．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．