Question

設橢圓+=1(a>b>0)的左,右焦點分別為F1,F2,點P(a,b)滿足|PF2|=|F1F2|.

(1)求橢圓的離心率e;

(2)設直線PF2與橢圓相交于A,B兩點.若直線PF2與圓(x+1)2+(y-)2=16相交于M,N兩點,且|MN|=|AB|,求橢圓的方程.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2) +=1

【解析】

解:(1)設F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),

因為|PF2|=|F1F2|,

所以=2c,

整理得2（）2+-1=0,

得=-1(舍去),或=,

所以e=.

(2)由(1)知a=2c,b=c,

可得橢圓方程為3x2+4y2=12c2,

直線PF2的方程為y=(x-c).

A、B兩點的坐標滿足方程組

消去y并整理,得5x2-8cx=0,

解得x1=0,x2=c.

得方程組的解　

不妨設A（c,c）,B(0,-c),

所以|AB|==c.

于是|MN|=|AB|=2c.

圓心(-1,)到直線PF2的距離

d==.

因為d2+=42,

所以(2+c)2+c2=16.

整理得7c2+12c-52=0,

解得c=-(舍去)或c=2.

所以橢圓方程為+=1.