Question

某縣地處水鄉，縣政府計劃從今年起用處理過的生活垃圾和工業廢渣填河造地．
（1）若該縣以每年1%的速度減少年填河面積，并保持生態平衡，使填河總面積永遠不會超過現有水面面積的，問：今年所填面積最多只能占現有水面面積的百分之幾？
（2）水面的減少必然導致蓄水能力的降低，為了保持其防洪能力不會下降，就要增加排水設備，設其經費y（元）與當年所填土地面積x（畝）的平方成正比，比例系數為a，又設每畝水面平均經濟收入為b元，所填的每畝土地年平均收入為c元，那么，要使這三項的收入不少于支出，試求所填面積x之最大值（其中a，b，c為常數）．

Answer 1

解：（1）設該縣現有水面面積為M（畝），今年所填面積x（畝），
則由已知條件得：．
上式左端是無窮等比數列各項和，即有：
∴，故
這說明今年所填面積最多只能占現有水面面積的0.25%．
（2）由題設條件可知：cx-（ax²+bx）≥0
即
當c-b≤0時，，x為非正值，說明不能填地；
當c-b＞0時，，x為非負值，說明所填土地面積的最大值為畝．
分析：（1）設該縣現有水面面積為M（畝），今年所填面積x（畝），則由已知條件得：．由此可知今年所填面積最多只能占現有水面面積的0.25%．
（2）由題設條件可知，然后再根據題設條件進行分類討論．
點評：解答本題關鍵在于深刻理解題意，將填河造地的面積抽象為一個等比數列，由“填河總面積永遠…”就須求出這個無窮等比數列各項的和．