Question

(1)已知,求證：;

(2)已知，>0(i=1,2,3,…,3ⁿ)，求證：

+++…+

 

Answer 1

【答案】

(1)利用函數的單調性，alog₃a+blog₃b+clog₃c≥-1當a=b=c=時等號成立。

(2)證明：數學歸納法

【解析】

試題分析：(1)證明： a+b+c=1，a、b、c∈(0，+∞)，

alog₃a+blog₃b+clog₃c= alog₃a+blog₃b+(1-a-b) log₃(1-a-b)="f(a)"

那么f ′ (a)= log₃a-log₃(1-a-b)，當a∈(0，)時f ′ (a)<0，當a∈(，1)時f ′ (a)>0，

f(a)在(0，]上遞減，在[，1) 上遞增；

f(a)≥f()="(1-b)" log₃+ blog₃b，記g(b)=" (1-b)" log₃+ blog₃b， 3分

得：g′(b)= log₃b-log₃，當b∈(0，)時g′(b) <0，當b∈(，1)時，g′(b) >0，

 g(b)在(0，)遞減，在(，1)上遞增； g(b)≥g()=-1。

alog₃a+blog₃b+clog₃c≥-1當a=b=c=時等號成立。5分

(2)證明：n=1時，++=1，>0(i=1,2,3)，由(1)知

++≥-1成立，即n=1時，結論成立。

設n=k時結論成立，即++…+=1，>0(i=1,2,3,…,3^k)時

+++…+≥-k.

那么，n=k+1時,若++…+++…+=1，>0(i=1,2,3,…,3^k+1)時，

令+…+=t，則++…+=1，由歸納假設：

++…+≥-k. 8分

 +++…+-(1-t) (1-t) ≥-k(1-t).

+++…+≥-k(1-t)+ (1-t) (1-t)…(1)

設+…+=s，則+…+=t-s，++…+=1，

由歸納假設：++…+≥-k.

++…+≥-k(t-s)+ (t-s)(t-s)

………(2) 10分

+…+=s，++…+=1；由歸納假設同理可得：

++…+ ≥-ks+ ss ……(3) 

將(1) 、(2)、(3)兩邊分別相加得：

++…++…++…+

≥-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)(1-t)+ (t-s)(t-s) + ss 

而(1-t)+(t-s)+s=1，(1-t)>0，(t-s) >0，s >0。 (1-t)(1-t)+ (t-s) (t-s) + ss≥-1。

-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)(1-t)+ (t-s)(t-s) + ss≥-k-1=-(k+1)。

++…++…+≥-(k+1)。

n=k+1時，題設結論成立。綜上所述，題設結論得證。 13分

考點：本題主要考查對數函數的性質，函數的單調性，數學歸納法證明不等式。

點評：難題，利用已知a，b，c的關系，首先確定得到函數f(a)，從而利用導數研究函數的單調性，達到證明不等式的目的。（2）利用數學歸納法證明不等式，看似思路清晰，但在不等式變形過程中，困難重重。是一道比較難的題目。