Question

（2013•汕頭二模）已知向量 

a

=(

1

2，

3

2

)，

b

=（cosx，sinx）；
（1）若

a

⊥

b

，求tan(x-

π

4

)的值；
（2）若函數f（x）=

a

•

b

，求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）通過數量積求出x的正切值，利用兩角差的正切函數展開表達式，求解即可．
（2）求出函數的表達式，利用兩角和與差的三角函數，化簡表達式，通過三角函數的周期公式求出周期，利用正弦函數的單調性求出單調增區間即可．

解答：解：因為向量 

a

=(

1

2

，

3

2

)，

b

=（cosx，sinx）；

a

⊥

b

，
所以

a

•

b

=0即

1

2

cosx+

3

2

sinx=0∴tanx=-

3

3

．
tan(x-

π

4

)=

tanx-1

tanx+1

=

- 3 3 -1

1- 3 3

=-2-

3

．
（2）因為函數f（x）=

a

•

b

=

1

2

cosx+

3

2

sinx=sin(x+

π

6

)所以函數的周期是T=

2π

1

=2π，
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ  k∈Z，
解得：-

2π

3

+2kπ≤x≤

π

3

+2kπ  k∈Z，
所以函數的單調增區間為：[-

2π

3

+2kπ，

π

3

+2kπ]  k∈Z．

點評：本題考查數量積的應用，三角函數的化簡求值，兩角和與差的三角函數以及三角函數的單調性的應用，考查計算能力．