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(2013•汕頭二模)64個正數排成8行8列,如下所示:,其中aij表示第i行第j列的數.已知每一行中的數依次都成等差數列,每一列中的數依次都成等比數列,且公比均為q,a11=
1
2
,a24=1,a21=
1
4

(Ⅰ)求a12和a13的值;
(Ⅱ)記第n行各項之和為An(1≤n≤8),數列{an},{bn},{cn}滿足an=
36
An
,mbn+1=2(an+mbn)(m為非零常數),cn=
bn
an
,且
c
2
1
+
c
2
7
=100
,求c1+c2+…+c7的取值范圍;
(Ⅲ)對(Ⅱ)中的an,記dn=
200
an
(n∈N*)
,設Bn=d1d2dn(n∈N*),求數列{Bn}中最大項的項數.
分析:(Ⅰ)輕車熟路的公比,通過a11,a12,a13,a14成等差數列,求a12和a13的值;
(Ⅱ)設第一行公差為d,求出d,求出an=2n(1≤n≤8,n∈N*,推出
bn+1
2n+1
-
bn
2n
=
1
m
.說明{cn}是等差數列,推出-10
2
c1+c7<10
2
.即可;
(Ⅲ)對(Ⅱ)中的an,記dn=
200
an
(n∈N*)
,設Bn=d1d2dn(n∈N*),利用數列的單調性推出
dn≥1
dn+1<1
,求出n即可求數列{Bn}中最大項的項數.
解答:(共14分)
解:(Ⅰ)因為q=
a21
a11
=
1
2
,所以a14=
a24
q
=2

又a11,a12,a13,a14成等差數列,
所以a12=1,a13=
3
2
.…(4分)
(Ⅱ)設第一行公差為d,由已知得,a24=a14q=(
1
2
+3d)×
1
2
=1

解得d=
1
2

所以a18=a11+7d=
1
2
+
7
2
=4

因為an1=a11•(
1
2
)n-1=(
1
2
)n
an8=a18•(
1
2
)n-1=4×(
1
2
)n-1=8×(
1
2
)n

所以An=
an1+an8
2
×8=36×(
1
2
)n

所以an=2n(1≤n≤8,n∈N*).…(6分)
因為mbn+1=2(an+mbn),
所以mbn+1=2n+1+2mbn
整理得
bn+1
2n+1
-
bn
2n
=
1
m

cn=
bn
an
,所以cn+1-cn=
1
m

所以{cn}是等差數列.…(8分)
c1+c2+…+c7=
(c1+c7)×7
2

因為
1
m
≠0

所以c1≠c7
所以2c1c7c12+c72
所以(c1+c7)2=
c
2
1
+
c
2
7
+2c1c7<2(
c
2
1
+
c
2
7
)=200

所以-10
2
c1+c7<10
2

所以c1+c2+…+c7的取值范圍是(-35
2
 , 35
2
)
.…(10分)
(Ⅲ)因為dn=200×(
1
2
)n
是一個正項遞減數列,
所以當dn≥1時,Bn≥Bn-1,當dn<1時,Bn<Bn-1.(n∈N*,n>1)
所以{Bn}中最大項滿足
dn≥1
dn+1<1
200×(
1
2
)
n
≥1
200×(
1
2
)
n+1
<1
…(12分)
解得6+log
1
2
16
25
<n
7+log
1
2
16
25

0<log
1
2
16
25
<1
,且n∈N*
所以n=7,即{Bn}中最大項的項數為7.…(14分)
點評:本題考查等差數列與等比數列的綜合應用,函數的函數特征,考查分析問題解決問題的能力,數列的單調性的應用.
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