Question

設f（x）是定于在（0，1）上的函數，且滿足：①對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對任意x₁，x₂∈（0，1），恒有

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤2，則關于函數f（x）有：
（1）對任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；
（2）對任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；
（3）對任意x∈（0，1），恒有f′（x）=0；
（4）當x∈（0，1），函數y=

f(x)

x

+x為減函數．
上述四個命題中正確的有

（2）（3）

．

Answer 1

分析：觀察四個命題（1）（2）兩個不能同時成立，對于命題（1）（2）可采取令x₁=x，x₂=1-x，利用基本不等式證明；
（3）證明函數f（x）為常數即可．（4）利用（3）的結論證明（4）．

解答：解：因為對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0，
所以令x₁=x，x₂=1-x，則

f(x)

f(1-x)

+

f(1-x)

f(x)

≥2

f(x) f(1-x) ? f(1-x) f(x)

=2，
由②知

f(x)

f(1-x)

+

f(1-x)

f(x)

≤2，所以必有

f(x)

f(1-x)

+

f(1-x)

f(x)

=2，當且僅當

f(x)

f(1-x)

=

f(1-x)

f(x)

=1，即f（x）=f（1-x）時取等號，所以（1）錯誤，（2）正確．
（3）將②中的變量x₁，x₂，交換位置得

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

≤2，③，將②③相加得

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

+

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤4，
因為

f(x2)

f(x1)

+

f(x 1)

f(x2)

≥2

f(x2) f(x1) ? f(x 1) f(x2)

=2，

f(1-x2)

f(1-x1)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≥2

f(1-x2) f(1-x1) ? f(1-x1) f(1-x2)

=2，
所以

f(x2)

f(x1)

+

f(x 1)

f(x2)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≥4，所以

f(x2)

f(x1)

+

f(x 1)

f(x2)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

=4，
當且僅當，

f(x2)

f(x1)

=

f(x 1)

f(x2)

=1，

f(1-x2)

f(1-x1)

=

f(1-x1)

f(1-x2)

=1，取等號，所以f（x₁）=f（x₂），即對任意的變量x₁，x₂，都有所以f（x₁）=f（x₂），
所以f（x）為常數，所以f'（x）=0，所以（3）成立．
（4）因為f（x）為常數，所以設f（x）=c＞0，
所以y=

f(x)

x

+x=

c

x

+x，函數的導數為y'=1-

c

x2

，當x＞0時，由y'＜0得，0＜x＜

c

，所以函數在（0，

c

）上單調遞減，所以當c＜1時，函數y=

f(x)

x

+x為減函數不一定正確．
故正確的是（2）（3）．

點評：本題考點是抽象函數及其應用，解決本題的關鍵是構造出可以利用基本不等式求最值的形式，利用等號成立的條件找到命題正確判斷的依據，綜合性較強，難度較大．