Question

【題目】已知函數，.

（1）討論函數的單調性；

（2）若存在與函數，的圖象都相切的直線，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）對h（x）求導，得，對，分別討論，得單調區間；

（2）設f（x）在點（x1，f（x1））與g（x）在點（x2，f（x2））處切線相同，則，分別求得導數和切線的斜率，構造新函數 ，求出導數和單調區間，最值，運用單調性計算可得a的范圍．

（1）函數的定義域為,，

所以

所以當即時，，在上單調遞增；

當即時，

當時，在上單調遞增；

當時，令得

	+	-	+
	增	減	增

綜上：當時，在上單調遞增；當時在，單調遞增，在單調遞減.

（2）設函數在點與函數在點處切線相同，

，則，

由，得，再由

得，把代入上式得

設（∵x2＞0，∴x∈（0，+∞））,

則 不妨設.

當時，，當時，

所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

把代入可得：

設，則對恒成立，

所以在區間上單調遞增，又

所以當時，即當時,

又當時，

因此當時，函數必有零點；即當時，必存在使得成立；

即存在使得函數在點與函數在點處切線相同．

又由單調遞增得，因此

所以實數的取值范圍是．