Question

已知a,b,c,d∈R,a+b=c+d=1,且ac+bd＞1,求證:a,b,c,d中至少有一個是負數.

Answer 1

解析：題目中a,b,c,d中至少有一個是負數的情況較多,而其反面卻只有一種情況,故考慮用反證法證明.

證明：假設a,b,c,d全部是非負數,

∵a+b=c+d=1,

∴(a+b)(c+d)=1,

即(ac+bd)+(ad+bc)=1.

又∵ad+bc≥0,ac+bd≤1,

這與已知條件ac+bd＞1矛盾,假設錯誤.

故a,b,c,d中至少有一個是負數.