Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=

π

2

，PA=2，AB=AC=4，點D、E、F分別為BC、AB、AC的中點．
（I）求證：EF⊥平面PAD；
（II）求點A到平面PEF的距離；
（III）求二面角E-PF-A的大小．

Answer 1

分析：（I）欲證EF⊥平面PAD，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證EF與平面PAD內兩相交直線垂直，而PA⊥EF，EF⊥AD，PA∩AD=A，滿足定理的條件；
（II）設EF與AD相交于點G，連接PG，過A做AO⊥平面PEF，則O在PG上，所以線段AO的長為點A到平面PEF的距離，在三角形PAG中求出AO，即得到了點A到平面PEF的距離；
（III）過A做AH⊥PF，垂足為H，連接EH，根據二面角平面角的定義可知∠EHA為二面角E-PF-A的一個平面角，在直角三角形EHA中求出此角的正切值，最后用反三角函數表示即可．

解答：解：（I）∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥EF，
AD為PD在平面ABC內的射影．
又∵點E、F分別為AB、AC的中點，∴EF∥BC
在△ABC中，由于AB=AC，故AD⊥BC，
所以EF⊥AD，∴PA⊥EF，EF⊥AD
∴EF⊥平面PAD（4分）
（II）設EF與AD相交于點G，連接PG．
∵EF⊥平面PAD，∴面PEF⊥dmPAD，交線為PG，
過A做AO⊥平面PEF，則O在PG上，
所以線段AO的長為點A到平面PEF的距離
在Rt△PAG中，PA=2，AG=

2

，∴AO=

2 3

3

即點A到平面PEF的距離為

2 3

3

（8分）
（III）∵PA⊥平面ABC，∠BAC=

π

2

∴BA⊥平面PAC．
過A做AH⊥PF，垂足為H，連接EH．
則EH⊥PF
所以∠EHA為二面角E-PF-A的一個平面角．
在Rt△EAH中，EA=2，AH=

2

，∴tan∠EHA=

2

2

=

2

即二面角E-PF-A的正切值為

2

.∴二面角E-PF-A的大小arttan

2

．（12分）

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及點到平面的距離和二面角的度量，考查空間想象能力，幾何邏輯推理能力，以及計算能力．