Question

已知定義在R上的函數y=f（x）滿足條件f（x+

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）=-f（x），且函數y=f（x-

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）為奇函數，下面關于f（x）的判定正確序號的選項為（　�。�
①函數f（x）是周期函數；        ②函數f（x）的圖象關于點（-

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，0）對稱；
③函數f（x）為R上的單調函數；  ④函數f（x）為R上的偶函數．

A．①②

B．②③

C．①②③

D．①②④

Answer 1

分析：①把x取x+

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代入f（x+

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）=-f（x），即可求出周期；
②先求函數y=f（x-

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）的對稱中心，通過圖象平移求函數f（x）的對稱中心；
③周期函數不符合單調函數的定義；
④根據函數y=f（x-

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）為奇函數，得出f(-x-

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)=-f(x-

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)，
結合條件f（x+

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）=-f（x），聯立變化可證函數f（x）為偶函數．

解答：解：①因為定義在R上的函數y=f（x）滿足條件f（x+

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）=-f（x），取x=x+

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得：f(x+

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+

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)=-f(x+

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)
即f(x+3)=-f(x+

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)=-[-f（x）]=f（x），所以函數f（x）是周期為3的函數；
②函數y=f（x-

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）為奇函數，則其圖象關于（0，0）對稱，而函數f（x）的圖象是把函數y=f（x-

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）的圖象向左平移

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個單位得到的，所以數f（x）的圖象關于點（-

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，0）對稱；
③因為函數f（x）是周期函數，不滿足函數的單調性概念所以函數f（x）不是R上的單調函數；
④因為函數y=f（x-

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）為奇函數，所以有f(-x-

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)=-f(x-

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)，
取x=x+

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，則有f(-x-

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-

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)=-f(x+

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-

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)，所以f(-x-

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)=-f(x)
又f（x+

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）=-f（x），所以f（x+

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）=f（-x-

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），再令x=x+

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，所以有f(x+

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+

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)=f(-x-

3

2

-

3

2

)
所以有f（x+3）=f（-x-3），即f（x）=f（-x），所以函數f（x）為偶函數，圖象關于y軸對稱．
所以敘述正確的是①②④．
故選D．

點評：本題考查了函數的單調性和奇偶性，考查了迭代法，同時考查了函數的圖象平移問題，解答此題的關鍵是靈活運用變量x的變化，是易錯題．