Question

方程ax²+2x+1=0至少有一個負的實根的充要條件是（　　）

A．0＜a≤1

B．a＜1

C．a≤1

D．0＜a≤1或a＜0

Answer 1

分析：首先，對二次項系數分為0和不為0兩種情況討論，然后在二次項系數不為0時，分兩根一正一負和兩根均為負值兩種情況，最后將兩種情況綜合在一起找到a所滿足的條件a≤1，再利用上述過程可逆，就可以下結論充要條件是a≤1．

解答：解：①a≠0時，顯然方程沒有等于零的根．
若方程有兩異號實根，則由兩根之積小于0可得 a＜0；
若方程有兩個負的實根，則必有

1 a ＞0 - 2 a ＜0 △=4-4a≥0

，故 0＜a≤1．
②若a=0時，可得x=-

1

2

也適合題意．
綜上知，若方程至少有一個負實根，則a≤1．
反之，若a≤1，則方程至少有一個負的實根，
因此，關于x的方程ax²+2x+1=0至少有一負的實根的充要條件是a≤1．
故選 C．

點評：本題主要考查一個一元二次根的分布問題，屬于中檔題．在二次項系數不確定的情況下，注意一定要分二次項系數分為0和不為0兩種情況討論．