Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁，D是CC₁的中點，F是A₁B的中點，
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求證：AF⊥平面BDF．

Answer 1

分析：（1）取AB中點E，連接CE，證明EFDC是平行四邊形，可得DF∥CE，利用線面平行的判定可得結論；
（2）根據CE⊥平面A₁AB和直線與平面垂直度的性質可知CE⊥AF，進而根據DF∥CE，判斷出AF⊥DF，同時AF⊥A₁B根據直線與平面垂直的判定定理可知AF⊥平面A₁BD．

解答：證明：（1）取AB的中點E，連接EF，CE，
因為F是A₁B的中點，所以EF是△A₁AB的中位線，
所以EF=

1

2

AA1，且EF∥AA₁，
又因為D是CC₁的中點，所以EF∥CD，且EF=CD，
所以四邊形CDFE是平行四邊形，所以DF∥CE，
又CE?平面ABC，DF?平面ABC
所以DF∥平面ABC
（2）因為AB=AA₁且F是A₁B的中點，所以AF⊥A₁B，
又因為CE⊥平面A₁AB，且DF∥CE，
所以DF⊥平面A₁AB，
∵AF?平面A₁AB，
所以AF⊥DF，又A₁B∩DF=F，
所以AF⊥平面BDF．

點評：本題考查線面平行的判定，考查線面垂直的判定與性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．