Question

本題設有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分，作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．
（1）選修4-2：矩陣與變換
設矩陣 M=

a 0 0 b

（其中a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）若a=2，b=3，求矩陣M的逆矩陣M^-1；
（Ⅱ）若曲線C：x²+y²=1在矩陣M所對應的線性變換作用下得到曲線C′：

x2

4

+y2=1，求a，b的值．
（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數方程
在直接坐標系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數方程為

x= 3 cos∂ y=sin∂

(∂為參數)．
（Ⅰ）已知在極坐標（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標為（4，

π

2

），判斷點P與直線l的位置關系；
（Ⅱ）設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．
（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講
設不等式|2x-1|＜1的解集為M．
（Ⅰ）求集合M；
（Ⅱ）若a，b∈M，試比較ab+1與a+b的大小．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）直接根據求逆矩陣的公式求解，即M=

.

a 0 0 b

.

，則M-1=

.

b ab-0 0 ab-0 0 ab-0 a ab-0

.

代入a，b即可求解
（Ⅱ）設出曲線C：x²+y²=1任意一點為（x₀，y₀）經矩陣M所對應的線性變換作用下得到的點為（x，y），即可根據矩陣乘法M（x₀，y₀）=（x，y）得到關于x₀，y₀與x，y間的關系，即

ax0=x by0=y

將之代入

x2

4

+y2=1得到的含x₀，y₀的方程應與x²+y²=1相同，根據待定系數即可運算
（2）（Ⅰ）將P的極坐標（4，

π

2

）根據公式

x=ρcosθ y=ρsinθ

化為直角坐標坐標為（0，4），則根據直角坐標系下點與直線的位置關系判斷即可
（Ⅱ）根據曲線C的參數方程為

x= 3 cos∂ y=sin∂

(∂為參數)，設出曲線C上任一點到直線l的距離為d，則根據點到直線的距離公式知d=

| 3 cosα-sinα+4|

12+12

，即d=

|4+2sin( π 3 -α)|

2

，而2sin（

π

3

-α）∈[-2，2]，則d的最小值為

2

（3）（Ⅰ）直接根據絕對值不等式的意義（（|a-b|表示a-b與原點的距離，也表示a與b之間的距離）知：-1＜2x-1＜1即可求解
（Ⅱ）要比較ab+1與a+b的大小，只需比較（ab+1）-（a+b）與0的大小，而（ab+1）-（a+b）=（a-1）（b-1）再根據a，b∈M即可得到（a-1）（b-1）的符號，即可求解．

解答：（1）解：（Ⅰ）∵M=

a 0 0 b

∴M-1=

.

b ab-0 0 ab-0 0 ab-0 a ab-0

.

將a=2，b=3代入即得：M-1=

.

3 6 0 6 0 6 2 6

.

=

.

1 2 0 0 1 3

.

（Ⅱ）設出曲線C：x²+y²=1任意一點為（x₀，y₀）經矩陣M所對應的線性變換作用下得到的點為（x，y），
∵M（x₀，y₀）=（x，y）
∴

ax0=x by0=y

將之代入

x2

4

+y2=1得：

a2 x 2 0

4

+b2

y

2 0

=1
即

a2 4 =1 b2=1

∵a＞0，b＞0
∴

a=2 b=1

（2）（Ⅰ）解∵P的極坐標為（4，

π

2

），

x=ρcosθ y=ρsinθ

∴P的直角坐標為（0，4）
∵直線l的方程為x-y+4=0
∴（0，4）在直線l上
（Ⅱ）∵曲線C的參數方程為

x= 3 cos∂  ① y=sin∂  ②

(∂為參數)，直線l的方程為x-y+4=0
設曲線C的到直線l的距離為d
則d=

| 3 cosα-sinα+4|

12+12

=

|4+2sin( π 3 -α)|

2

∵2sin（

π

3

-α）∈[-2，2]
∴d的最小值為

2

（3）（Ⅰ）解：∵|2x-1|＜1
∴-1＜2x-1＜1
即0＜x＜1
即M為{x|0＜x＜1}
（Ⅱ）∵a，b∈M
∴a-1＜0．b-1＜0
∴（b-1）（a-1）＞0
∴（ab+1）-（a+b）=a（b-1）+（1-b）=（b-1）（a-1）＞0
即（ab+1）＞（a+b）

點評：本題考查了逆變換與逆矩陣，以及待定系數法求解a，b的方法，橢圓的參數方程，絕對值不等式的解法，作差法比較大小的相關知識，屬于基礎題．