Question

設橢圓C： (a>b>0)的離心率為，過原點O斜率為1的直線與橢圓C相交于M，N兩點，橢圓右焦點F到直線l的距離為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設P是橢圓上異于M，N外的一點，當直線PM，PN的斜率存在且不為零時，記直線PM的斜率為k₁，直線PN的斜率為k₂，試探究k₁·k₂是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由．

Answer 1

(1)；(2) k₁·k₂是為定值－.

解析試題分析：(1)由橢圓C： (a>b>0)的離心率為可得,又由橢圓右焦點F(c,0)到直線l的距離為,由點到直線的距離公式得＝，從而求得c的值，代入求得a的值；再注意到從而求得b的值,因此就可寫出所求橢圓C的方程; (2)由過原點O斜率為1的直線方程為：y=x，聯立橢圓C與直線L的方程就可求出M，N兩點的坐標，再由過兩點的直線的斜率公式就可用點P的坐標表示出k_PM·k_PN，再注意點P的坐標滿足橢圓C的方程，從而就可求出k₁·k₂＝k_PM·k_PN是否與點P的坐標有關，若與點P的坐標無關則k₁·k₂的值為定值；否則不為定值．
試題解析：(1)設橢圓的焦距為2c(c>0)，焦點F(c,0)，直線l：x－y＝0，
F到l的距離為＝，解得c＝2，
又∵e＝＝，∴a＝2，∴b＝2.
∴橢圓C的方程為.
(2)由解得x＝y＝，或x＝y＝－，
不妨設M，N，P(x，y)，
∴k_PM·k_PN＝
由，即，代入化簡得k₁·k₂＝k_PM·k_PN＝－為定值．
考點：１．橢圓的標準方程；２．直線與橢圓的位置關系．