Question

（16分）如圖所示，P是拋物線C：y=x²上一點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P并與拋物線C在點(diǎn)P的切線垂直，l與拋物線C相交于另一點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C上移動(dòng)時(shí)，求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程，并求點(diǎn)M到x軸的最短距離.

Answer 1

點(diǎn)M到x軸的最短距離是+1

 設(shè)P（x₀，y₀），則y₀=x,
∴過(guò)點(diǎn)P的切線斜率k=x₀,
當(dāng)x₀=0時(shí)不合題意，∴x₀≠0.
∴直線l的斜率k_l=-=-,
∴直線l的方程為y-x=-(x-x₀).
此式與y=x²聯(lián)立消去y得
x²+x- x-2=0.
設(shè)Q（x₁,y₁）,M(x,y).∵M(jìn)是PQ的中點(diǎn)，
∴,
消去x₀，得y=x²++1(x≠0)就是所求的軌跡方程.由x≠0知x²＞0,
∴y=x²++1≥2+1=+1.
上式等號(hào)僅當(dāng)x²=,即x=±時(shí)成立，
所以點(diǎn)M到x軸的最短距離是+1.