Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-ax2+(a2+2a)x，a∈R．
（1）當a=-2時，求f（x）在閉區(qū)間[-1，1]上的最大值與最小值；
（2）若線段AB：y=2x+3（0≤x≤2）與導函數(shù)y=f'（x）的圖象只有一個交點，且交點在線段AB的內部，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲求函數(shù)的最大值與最小值，通過列表格的方法研究原函數(shù)的單調性及在端點處和極值處的函數(shù)值的大�。�
（2）先將導函數(shù)與線段方程聯(lián)立，得到一個二次函數(shù)g（x），此函數(shù)在區(qū)間（0，2）內只有一根，即g（0）•g（2）＜0，即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=-2時，f(x)=

1

3

x3+2x2．（1分）
求導得f'（x）=x²+4x=x（x+4）．（2分）．
令f'（x）=0，解得：x=-4或x=0．（3分）
列表如下：（6分）

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
f'（x）		-	0	+
f（x）	5 3	↘	0	↗	7 3

所以，f（x）在閉區(qū)間[-1，1]上的最大值是

7

3

，最小值是0．（7分）
（2）y=f'（x）=x²-2ax+a²+2a．（8分）
聯(lián)立方程組

y=x2-2ax+a2+2a y=2x+3

（9分）
得x²-2（a+1）x+a²+2a-3=0．（10分）
設g（x）=x²-2（a+1）x+a²+2a-3，則方程g（x）=0在區(qū)間（0，2）內只有一根，
相當于g（0）•g（2）＜0，即（a²+2a-3）•（a²-2a-3）＜0，（12分）
解得-3＜a＜-1或1＜a＜3．（14分）

點評：考查學生利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的能力以及函數(shù)和方程的綜合運用能力，對于兩個函數(shù)的交點問題，一般是將兩個函數(shù)聯(lián)立，轉化成方程根的個數(shù)問題．