Question

如圖,棱長為1的正四面體ABCD中,E、F分別是棱AD、CD的中點,O是點A在平面BCD內的射影.

(1)求直線EF與直線BC所成角的大小;

(2)求點O到平面ACD的距離;

(3)(理)求二面角ABEF的大小.

(文)求二面角CBFE的大小.

Answer 1

解：方法一:(1)因為E、F分別是棱AD、CD的中點,所以EF∥AC.所以∠BCA是EF與BC所成角.因為正四面體ABCD,所以△ABC為正三角形.所以∠BCA=60°,即EF與BC所成角的大小是60°.

(2)解法一:如圖,連結AO,AF,

因為F是CD的中點,且△ACD,△BCD均為正三角形,所以BF⊥CD,AF⊥CD.因為BF∩AF=F,所以CD⊥面AFB.因為CD面ACD,所以面AFB⊥面ACD.因為ABCD是正四面體,且O是點A在面BCD內的射影,所以點O必在正三角形BCD的中線BF上.在面ABF中,過O作OG⊥AF,垂足為G,所以OG⊥面ACD,即OG的長為點O到面ACD的距離.因為正四面體ABCD的棱長為1,在△ABF中,容易求出AF=BF=,OF=,AO=,因為△AOF∽△OGF,故由相似比易求出OG=.所以點O到平面ACD的距離是.

解法二:如圖,連結AO,CO,DO,所以點O到平面ACD的距離就是三棱錐O—ACD底面ACD上的高h.與解法一同理容易求出OF=,AO=,所以V_A—COD=· (··1)=.

因為V_O—ACD=V_A—COD,所以=V_O—ACD=·h·(··1).解得h=.

(3)(理)設△ABD中,AB邊的中線交BE于H,連結CH,則由ABCD為正四面體知CH⊥面ABD.

設HD的中點為K,則FK∥CH.

所以FK⊥面ABD.在面ABD內,過點K作KN∥AD,KN交BE于M,交AB于N,因為BE⊥AD,所以NM⊥BE.連結FM,所以FM⊥BE.所以∠NMF是所求二面角的平面角.

因為FK=CH=·=,MK=ED=AD=,所以tan∠FMK==.

所以tan∠NMF=tan(π-∠FMK)=.所以所求二面角的大小為π-arctan.

(或者由正四面體的對稱性,可轉求二面角CBFE的大小)

(文)連結OD,設OD的中點為K,連結EK,

則EK∥AO.因為AO⊥面BCD,所以EK⊥面BCD.在平面BCD內,過點K作KN∥CD,KN交BF于M,交BC于N,因為BF⊥CD,所以KN⊥BF.連結EM,所以EM⊥BF.所以∠NME是所求二面角的平面角.

因為EK=AO=·=,MK=FD=CD=,所以tan∠EMK==.

所以tan∠NME=tan(π-∠EMK)=.所以所求二面角的大小為π-arctan.

方法二:如圖,以點A在面BCD的射影O為坐標原點,有向直線OA為z軸,有向直線BF為y軸,x軸為過點O與DC平行的有向直線.

因為正四面體ABCD的棱長為1,

所以可以求出各點的坐標依次為:O(0,0,0),A(0,0,),B(0,-,0),C(,,0),D(-,

,0),E(-,,),F(0,,0).

(1)因為=(,,-),=(,,0),又=×+×-×0

=+=,且||=||=,||=1,所以cos〈〉==.

所以EF與BC所成角的大小是60°.

(2)因為=(,,-),=(-,,-),

設平面ACD的一個法向量為F_ACD=(x₁,y₁,z₁),由·F_ACD=0,·F_ACD=0,

解得F_ACD=(0,2,).因為=(0,,0),·F_ACD=,|F_ACD|=,

所以點O到平面ACD的距離d=.

(3)(理)因為=(0,-,-),=(-,,-),

設平面ABD的一個法向量為F_ABD=(x₂,y₂,z₂),由·F_ABD=0,·F_ABD=0,

可得一個法向量F_ABD=().

同理可以求出平面BEF的一個法向量為F_BEF=(,0,3).

因為F_ABD·F_BEF=-9,|F_ABD|=3,|F_BEF|=,所以cosβ=.

所以二面角ABEF的大小為arccos()=π-arccos.

(文)因為=(,,-),=(0,,0),設平面BEF的一個法向量為F_BEF=(x₂,y₂,z₂),

由·F_BEF=0,·F_BEF=0,可得平面BEF的一個法向量F_BEF=(,0,3).

容易得到平面BCF的一個法向量F_BCF=(0,0,-1).因為F_BEF·F_BCF=-3,|F_BEF|=,|F_BCF|=1,

所以cosβ=.

所以二面角CBFE的大小為arccos()=π-arccos.