Question

已知點，，動點的軌跡曲線滿足，，過點的直線交曲線于、兩點.

(1)求的值，并寫出曲線的方程；

(2)求△面積的最大值.

Answer 1

【命題意圖】本小題考查橢圓的定義及標準方程，直線和橢圓的綜合應用，考查學生的邏輯思維能力和運算求解能力.

【試題解析】解：(1)設，在△中，，，根據余弦定理得.                 （2分）

即.

.

而，所以. 

所以.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （4分）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又，

因此點的軌跡是以、為焦點的橢圓（點在軸上也符合題意），

，.

所以曲線的方程為.                              　    （6分）

(2)設直線的方程為.

由，消去x并整理得.          ①

顯然方程①的,設,,則

由韋達定理得，.                  （9分）

所以.

令，則，.

由于函數在上是增函數.

所以，當，即時取等號.

所以，即的最大值為3.

所以△面積的最大值為3，此時直線的方程為.            （12分）