Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n+S_n=4．
（1）求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）是否存在正整數k，使

Sk+1-2

Sk-2

＞2成立．

Answer 1

分析：（1）根據a_n+S_n=4，a_n+1+S_n+1=4，兩式相減，即可得數列{a_n}的通項公式；
（2）先利用等比數列的求和公式，再利用

Sk+1-2

Sk-2

＞2成立，得出結論，從而可確定是否存在正整數k，使

Sk+1-2

Sk-2

＞2成立．

解答：（1）證明：由題意，a_n+S_n=4，a_n+1+S_n+1=4，兩式相減得an+1=

1

2

an 
當n=1時，a₁+S₁=2a₁=4，得a₁=2．
∴數列{a_n}是以首項a₁=2，公比為q=

1

2

的等比數列．
（2）解：由（1）知Sn=4[1-(

1

2

)n]
∴

Sk+1-2

Sk-2

＞2等價于

4-21-k-2

4-22-k-2

＞2
∴

3-21-k-2

3-21-k-2

＜0
∴

2

3

＜21-k＜1
∴1＜2k-1＜

3

2

∵k是正整數，
∴2^k-1正整數，這與1＜2k-1＜

3

2

相矛盾，
故不存在這樣的k，使不等式成立．

點評：本題考查等比數列的通項與求和，考查不等式成立問題．其中第一問涉及到已知前n項和為S_n求數列{a_n}的通項公式，掌握常用方法是關鍵．