Question

給出下列命題：
①若f'（x₀）=0，則函數f（x）在x=x₀處有極值；
②m＞0是方程

x2

m

+

y2

4

=1表示橢圓的充要條件；
③若f（x）=（x²-8）e^x，則f（x）的單調遞減區間為（-4，2）；
④A（1，1）是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1內一定點，F是橢圓的右焦點，則橢圓上存在點P，使得PA+2PF的最小值為3．
其中為真命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：根據函數在某點處取極值的條件，可以判斷①的真假；根據橢圓的標準方程，我們可以判斷②的真假；求出函數的導函數，分析導函數小于0的取值范圍，即可判斷③的真假；根據橢圓的第二定義，將PA+2PF轉化為P點到右準線的距離，可以判斷④的真假，即可得到答案．

解答：解：若f'（x₀）=0，函數f（x）在x=x₀處可能取極值，但如果在x₀兩邊單調性一致，則函數f（x）在x=x₀處不取極值，故①錯誤；
m＞0且m≠0，是方程

x2

m

+

y2

4

=1表示橢圓的充要條件，故②錯誤；
若f（x）=（x²-8）e^x，則f′（x）=（x²+2x-8）e^x，當x∈（-4，2）時，f′（x）＜0，∴f（x）的單調遞減區間為（-4，2），故③正確；
A（1，1）是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1內一定點，F是橢圓的右焦點，則橢圓上存在點P（

2 6

3

，1），使得PA+2PF的最小值為3，故④正確；
故答案為：③④

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，利用導數研究函數的單調性，橢圓的定義，橢圓的簡單性質，其中熟練掌握導數法，確定函數的單調性及極值點的方法，橢圓的性質及定義是解答本題的關鍵．