Question

（2013•聊城一模）已知正項數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，a_n=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=

a 2 n+1 +3

a 2 n+1 -1

，數列{b_n}的前項n和為T_n，求證：T_n＜n+1．

Answer 1

分析：（I）利用數列遞推式證明數列{

Sn

}是以1為首項，1為公差的等差數列，再求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）確定數列{b_n}的通項，利用裂項法求前項n和為T_n，即可得出結論．

解答：（I）解：∵a_n=

Sn

+

Sn-1

，
∴S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

∴

Sn

-

Sn-1

=1（n≥2）
∵a₁=1，
∴

S1

=1，
∴數列{

Sn

}是以1為首項，1為公差的等差數列
∴

Sn

=n
∴S_n=n²
∴n≥2時，a_n=2n-1
n=1時也滿足上式
∴a_n=2n-1；
（II）證明：b_n=

a 2 n+1 +3

a 2 n+1 -1

=1+

1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=n+（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=n+1-

1

n+1

∵

1

n+1

＞0
∴T_n＜n+1．

點評：本題考查數列的通項與求和，考查裂項法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．