Question

設函數，其中．

（I）若函數圖象恒過定點P，且點P關于直線的對稱點在的圖象上，求m的值；

（Ⅱ）當時，設，討論的單調性；

（Ⅲ）在(I)的條件下，設，曲線上是否存在兩點P、Q，使△OPQ(O為原點)是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

( I ) ；(Ⅱ)當m≥0時，在(0，＋∞)上為增函數；當m＜0時，在上為增函數，在上為減函數.(Ⅲ)存在，.

【解析】

試題分析：( I )先求出定點P，然后找出點P關于直線的對稱點代入，即得到；(Ⅱ)將代入，得到，再討論m的取值范圍，從而得到的單調性；(Ⅲ)先求出的表達式，再假設存在P、Q兩點滿足題意，由，討論的范圍，從而得到a的取值范圍為.

試題解析：( I ) 令，則，即函數圖象恒過定點P (2，0)    (1分)

∴P (2，0)關于直線的對稱點為(1，0)       (2分)

又點(1，0)在的圖象上，∴，∴      (3分)

(Ⅱ) ∵且定義域為      (4分)

∴    (5分)

∵x＞0，則x＋1＞0　

∴當m≥0時，此時在(0，＋∞)上為增函數.      (6分)

當m＜0時，由得，由得

∴在上為增函數，在上為減函數.      (7分)

綜上，當m≥0時，在(0，＋∞)上為增函數.

當m＜0時，在上為增函數，在上為減函數.   (8分)

(Ⅲ)由( I )知，，假設曲線上存在兩點P、Q滿足題意，則P、Q兩點只能在軸兩側，設，則，

因為△OPQ(O為原點)是以O為直角頂點的直角三角形，

，即①

（1）當時，，此時方程①為，化簡得.此方程無解，滿足條件的P、Q不存在.

(2)當時，，此時方程①為，

即.

設，則，

顯然當時，，即在上為增函數，所以的值域為.

所以當時方程①總有解.

綜上，存在P、Q兩點滿足題意，則a的取值范圍為.

考點：1.點關于直線對稱；2.用導數研究函數的單調性；3.函數的單調性與值域.