Question

（任選一題）
（1）已知α、β為實數，給出下列三個論斷：
①|α-β|≤|α+β|②|α+β|＞5  ③|α|＞2

2

，|β|＞2

2

以其中的兩個論斷為條件，另一個論斷為結論，寫出你認為正確的命題是

①③⇒②

．
（2）設{a_n}和{b_n}都是公差不為零的等差數列，且

lim

n→∞

an

bn

=2，則

lim

n→∞

b1+b2+…+bn

na2n

的值為

1

8

．

Answer 1

分析：（1）觀察知，可由①③推出②，本題是一個開放式題，結論可能不唯一，本題只證明①③推出②，首先由①|α-β|≤|α+β|得出α與β同號，再結合③得出|α+β|的取值范圍，與5比較即可得到結論．
（2）設{a_n}和{b_n}的公差分別為d₁ 和d₂，有條件可得d₁=2d₂，根據等差數列的通項公式及前n項和公式化簡要求的式子
并把d₁=2d₂代入，再利用數列極限的運算法則求出結果．

解答：（1）解：由①|α-β|≤|α+β|知，α，β同號，故|α+β|=|α|+|β|，
又由③|α|＞2

2

，|β|＞2

2

可得|α+β|＞4

2

，
又4

2

≈5.6＞5，
所以有|α+β|＞5成立，
綜上知①③推出②，
故答案為①③⇒②．
（2）解：設{a_n}和{b_n}的公差分別為d₁ 和d₂，
∵

lim

n→∞

an

bn

=

lim

n→∞

a1+(n-1)d1

b1+(n-1)d2

=

d1

d2

=2，∴d₁=2d₂．

lim

n→∞

b1+b2+…+bn

na2n

=

lim

n→∞

nb1+ n(n-1) 2 d2

n[a1+(2n-1)d1 ]

=

d2 2

2×d1

=

d2

4d1

=

1

8

，
故答案為：

1

8

．

點評：第（1）題考察不等式的證明，解題的關鍵是判斷出條件與結論，本題難點是判斷出那兩個做條件可以保證第三個成立，此類題是開放式題答案可能不唯一，故找出一個正確的來就行，此類題開放式題在近幾年新教材實驗區基本上不出現了，本題較抽象，不易想，容易出錯．
第（2）題主要考查等差數列的通項公式，前n項和公式，求數列的極限的方法，得到d₁=2d₂，是解題的關鍵．