Question

 (本小題滿分12分) 設橢圓C₁：的左、右焦點分別是F₁、F₂，下頂點為A，線段OA的中點為B（O為坐標原點），如圖．若拋物線C₂：與y軸的交點為B，且經過F₁，F₂點．

（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；

（Ⅱ）設M（0，），N為拋物線C₂上的一動點，過點N作拋物線C₂的切線交橢圓C₁于P、Q兩點，求面積的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）解：由題意可知B（0，-1），則A（0，-2），故b=2．

    令y=0得即，則F₁(-1，0)，F₂（1，0），故c=1．

所以．于是橢圓C₁的方程為：．…………4分

  （Ⅱ）設N（），由于知直線PQ的方程為：

． 即．……………………………5分

代入橢圓方程整理得：,  

=,

 , ,

故

       ．………………………………7分

設點M到直線PQ的距離為d，則．…………………9分

所以，的面積S

 …………11分

當時取到“=”，經檢驗此時，滿足題意．

綜上可知，的面積的最大值為．…………………………12分