Question

【題目】在四棱錐的底面中，，，平面，是的中點，且

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）線段上是否存在點，使得，若存在指出點的位置，若不存在請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，點為線段的中點.

【解析】

（Ⅰ）連結，，，則四邊形為平行四邊形，得到證明.

（Ⅱ）建立如圖所示坐標系，平面法向量為，平面的法向量，計算夾角得到答案.

（Ⅲ）設，計算，，根據垂直關系得到答案.

（Ⅰ）連結，，，則四邊形為平行四邊形.

平面.

（Ⅱ）平面，四邊形為正方形.

所以，，兩兩垂直，建立如圖所示坐標系，

則，，，，

設平面法向量為，則，

連結，可得，又所以，平面，

平面的法向量，

設二面角的平面角為，則.

（Ⅲ）線段上存在點使得，設，

，，，

所以點為線段的中點.