Question

動(dòng)點(diǎn)P從邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)順次經(jīng)過(guò)B、C、D再回到A，設(shè)x表示P點(diǎn)的行程，f（x）表示PA的長(zhǎng)，g（x）表示△ABP的面積．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）求g（x）的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）動(dòng)點(diǎn)P各有不同位置，計(jì)算PA也有不同的方法，因此同樣必須對(duì)P點(diǎn)的位置進(jìn)行分類求解．
（2）△ABP的形狀各有特征，計(jì)算它們的面積也有不同的方法，因此同樣必須對(duì)P點(diǎn)的位置進(jìn)行分類求解．

解答：解：（1）如原題圖，當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA=x；
當(dāng)P點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由Rt△ABD?可得PA=

1+(x-1)2

；
當(dāng)P點(diǎn)在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由Rt△ADP易得PA=

1+(3-x)2

；
當(dāng)P點(diǎn)在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA=4-x，故f（x）的表達(dá)式為：
f（x）=

x(0≤x≤1) x2-2x+2 (1＜x≤2) x2-6x+10 (2＜x≤3) 4-x(3＜x≤4)

（2）由于P點(diǎn)在折線ABCD上不同位置時(shí)，
如原題圖，當(dāng)P在線段AB上時(shí)，△ABP的面積S=0；
當(dāng)P在BC上時(shí)，即1＜x≤2時(shí)，S_△ABP=

1

2

AB•BP=

1

2

（x-1）；
當(dāng)P在CD上時(shí)，即2＜x≤3時(shí)，S_△ABP=

1

2

•1•1=

1

2

；
當(dāng)P在DA上時(shí)，即3＜x≤4時(shí)，S_△ABP=

1

2

（4-x）．
故g（x）=

0(0≤x≤1) 1 2 (x-1)(1＜x≤2) 1 2 (2＜x≤3) 1 2 (4-x)(3＜x≤4)

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分段函數(shù)式的求法，背景是動(dòng)點(diǎn)的軌跡特征不同，線段的長(zhǎng)及三角形的面積也會(huì)隨著變化，其中蘊(yùn)藏著函數(shù)的思想方法．