Question

已知命題p：“存在實數a，使直線x+ay-2=0與圓x²+y²=1有公共點”，命題q：“存在實數a，使點（a，1）在橢圓

x2

8

+

y2

2

=1內部”，若命題“p且?q”是真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求命題p，q為真命題時a的范圍，再根據復合命題真值表判斷，若命題“p且?q”是真命題，則命題p，￢q都是真命題，即p真q假，從而求出a的范圍．
真值表進行判斷．

解答：解：∵直線x+ay-2=0與圓x²+y²=1有公共點
∴

2

1+a2

≤1⇒a²≥1，即a≥1或a≤-1，
命題p為真命題時，a≥1或a≤-1；
∵點（a，1）在橢圓

x2

8

+

y2

2

=1內部，
∴

a2

8

+

1

2

＜1 即a2＜4，即-2＜a＜2，
命題q為真命題時，-2＜a＜2，
由復合命題真值表知：若命題“p且?q”是真命題，則命題p，￢q都是真命題
即p真q假，則

a≥1或a≤-1 a≥2或a≤-2

⇒a≥2或a≤-2．
故所求a的取值范圍為（-∞，-2]∪[2，+∞）．

點評：本題借助考查復合命題的真假判定，考查了直線與圓的位置關系，點與橢圓的位置關系，解決的關鍵是求簡單命題為真時a的范圍．