Question

一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為a，則此球的表面積等于

πa2

2

．

Answer 1

分析：將正四面體放置于如圖的正方體內，可得該正方體的內切球恰好與正四面體的六條棱都相切，算出正方體的內切球表面積即可．再由正四面體的棱長為a算出正方體的棱長，從而得到球的半徑r=

2

4

a，利用球的表面積公式加以計算，可得答案．

解答：解：設題中正四面體為ABCD，將它放置于正方體內，使AC、BD位于上、下底面的異面的面對角線處，
如圖所示．可得該正方體的內切球恰好與正四面體的六條棱都相切，
設該正方體的棱長為x，
∵正四面體的棱長為a，∴

2

x=a，解得x=

2

2

a，
可得正方體的內接球直徑2r=

2

2

a，得r=

2

4

a，
因此正方體的內接球表面積S=4πr²=4π•(

2

4

a)2=

πa2

2

．
即與正四面體的六條棱都相切球的表面積等于

πa2

2

．
故答案為：

πa2

2

點評：本題給出正四面體的棱長，求它的棱切球的表面積．著重考查了正方體的性質、球的表面積公式和球的內接外切位置關系等知識，屬于中檔題．