Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=1且an+1=

3+4an

12-4an

， n∈N*．
（1）若數列{b_n}滿足：bn=

1

an- 1 2

(n∈N*)，試證明數列b_n-1是等比數列；
（2）求數列{a_nb_n}的前n項和S_n；
（3）數列{a_n-b_n}是否存在最大項，如果存在求出，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）由

bn+1-1

bn-1

=

1 an+1- 1 2 -1

1 an- 1 2 -1

=

1 3+4an 12-4an - 1 2 -1

1-an+ 1 2 an- 1 2

=

15-10an 6an-3

3-2an 2an-1

=

5

3

．知數列{b_n-1}是等比數列．
（2）由bn=

1

an- 1 2

，得anbn=1+

1

2

bn，知anbn=1+

1

2

[1+(

5

3

)n-1]=

3

2

+

1

2

(

5

3

)n-1，由此知Sn=

n

k=1

[

3

2

+

1

2

(

5

3

)n-1]=

3

2

n+

1 2 [( 5 3 )n-1]

5 3 -1

=

3

2

n+

3

4

(

5

3

)n-

3

4

．
（3）由bn=

1

an- 1 2

，得an=

1

bn

+

1

2

，∴an-bn=

1

bn

+

1

2

-bn=

1

bn

-bn+

1

2

、又由（2）知，bn=1+(

5

3

)n-1，數列{b_n}單調遞增，所以數列a_n-b_n為單調遞減數列，由此知數列a_n-b_n中存在最大項且為該數列中的首項，其值為-1．

解答：解：（1）∵

bn+1-1

bn-1

=

1 an+1- 1 2 -1

1 an- 1 2 -1

=

1 3+4an 12-4an - 1 2 -1

1-an+ 1 2 an- 1 2

=

15-10an 6an-3

3-2an 2an-1

=

5

3

．
∴數列{b_n-1}是等比數列，首項為b1-1=

1

a1- 1 2

-1=1，公比為

5

3

．
（2）由bn=

1

an- 1 2

，得anbn=1+

1

2

bn．
由（1）得bn-1=(

5

3

)n-1， ∴bn=1+(

5

3

)n-1，
∴anbn=1+

1

2

[1+(

5

3

)n-1]=

3

2

+

1

2

(

5

3

)n-1，
∴Sn=

n

k=1

[

3

2

+

1

2

(

5

3

)n-1]=

3

2

n+

1 2 [( 5 3 )n-1]

5 3 -1

=

3

2

n+

3

4

(

5

3

)n-

3

4

．
（3）由bn=

1

an- 1 2

，得an=

1

bn

+

1

2

，
∴an-bn=

1

bn

+

1

2

-bn=

1

bn

-bn+

1

2

，
又由（2）知，bn=1+(

5

3

)n-1，
∴數列{b_n}單調遞增，∴{

1

bn

}與-b_n均為遞減數列、∴數列{a_n-b_n}為單調遞減數列，
∴當n=1時，a₁-b₁=1-2=-1最大，即數列{a_n-b_n}中存在最大項且為該數列中的首項，其值為-1、

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．