Question

設F₁、F₂分別為橢圓C：=1(A＞b＞0)的左、右兩個焦點.

（1）若橢圓C上的點A（1，3[]2）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標;

（2）設點K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段F₁K的中點的軌跡方程;

（3）已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM?,k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值，試寫出雙曲線=1具有類似特性的性質并加以證明.

Answer 1

解:（1）橢圓C的焦點在x軸上，由橢圓上的點A到F₁、F₂兩點的距離之和是4，得2A=4,即A=2.?

又點A（1，3[]2）在橢圓上，因此+=1，b²=3.??

∴C²=A²-b²=1.?

∴橢圓C的方程為=1,焦點F₁（-1，0），F₂（1，0）.??

（2）設橢圓C上的動點為K（x,y），線段F₁K的中點Q（x,y）滿足：x=,y=,

∴x₁=2x+1,y₁=2y.?

∴=1，即(x+)²+=1為所求的軌跡方程.?

（3）類似的性質為：若M、N是雙曲線=1上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值.設點M的坐標為（M,n），則點N的坐標為（-M,-n）,其中=1.

又設點P的坐標為（x,y），由k_PM=,?

k_PN=得k_PM·k_PN=·=^.?

將y²=x²-b²,n²=M²-b²代入,得k_PM·k_PN=