Question

方程x²+

2

x-1=0的解可視為函數y=x+

2

的圖象與函數y=

1

x

的圖象交點的橫坐標，若x⁴+ax-4=0的各個實根x₁，x₂，…，x_k（k≤4）所對應的點（x_i，

4

xi

）（i=1，2，…，k）均在直線y=x的同側，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：原方程等價于x3+a=

4

x

，分別作出左右兩邊函數的圖象：分a＞0與a＜0討論，可得答案．

解答：解析：方程的根顯然x≠0，原方程等價于x3+a=

4

x

，原方程的實根是曲線y=x³+a與曲線y=

4

x

的交點的橫坐標；而曲線y=x³+a是由曲線y=x³向上或向下平移|a|個單位而得到的．若交點（x_i，

4

xi

）（i=1，2，k）均在直線y=x的同側，因直線y=x與y=

4

x

交點為：（-2，-2），（2，2）；

所以結合圖象可得：

a＞0 x3+a＞-2 x≥-2

或

a＜0 x3+a＜2 x≤2

?a∈(-∞，-6)∪(6，+∞)；

點評：華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微．數形結合百般好，隔離分家萬事非．”數形結合是數學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質．