Question

若數列{a_n}滿足

a

2 n

-

a

2 n-1

=p（p為常數，n≥2，n∈N^*），則稱數列{a_n}為等方差數列，p為公方差，已知正數等方差數列{a_n}的首項a₁=1，且a₁，a₂，a₅成等比數列，a₁≠a₂，設集合A={Tn|Tn=

1

a1+a2

+

1

a2+a3

+…+

1

an+an+1

，1≤n≤100，n∈N*}，取A的非空子集B，若B的元素都是整數，則B為“完美子集”，那么集合A中的完美子集的個數為（　�。�

A．64

B．63

C．32

D．31

Answer 1

分析：根據正數等方差數列{a_n}的首項a₁=1，且a₁，a₂，a₅成等比數列，a₁≠a₂，確定數列的通項，利用裂項法求和，可得A中的整數元素為1，2，3，4，5，6，即可求得結論．

解答：解：設數列{a_n}為正數等方差數列，p為公方差，則

a

2 2

-

a

2 1

=p，

a

2 3

-

a

2 2

=p，

a

2 4

-

a

2 3

=p，

a

2 5

-

a

2 4

=p
∴

a

2 5

-

a

2 1

=4p
∵a₁=1，∴a₂=

1+p

，a₅=

1+4p

∵a₁，a₂，a₅成等比數列，
∴1+p=

1+4p

∴p=0或p=2
∵a₁≠a₂，∴p=2
∴a_n=

1+2(n-1)

=

2n-1

∴

1

an+an+1

=

1

2n-1 + 2n+1

=

1

2

（

2n+1

-

2n-1

）
∴Tn=

1

a1+a2

+

1

a2+a3

+…+

1

an+an+1

=

1

2

（

2n+1

-1）
∴A中的整數元素為1，2，3，4，5，6
∵A的非空子集B，若B的元素都是整數，
∴集合A中的完美子集的個數為2⁶-1=63
故選B．

點評：本題考查新定義，考查數列的通項與求和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．