Question

某工廠有舊墻一面長(zhǎng)14米，現(xiàn)準(zhǔn)備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形，面積為126平方米的廠房，工程條件是：①建1米新墻的費(fèi)用為a元；②修1米舊墻的費(fèi)用是元;③拆去1米舊墻，用所得的材料建1米新墻的費(fèi)用為元.經(jīng)討論有兩種方案：（1）利用舊墻的一段x米（x＜14)為矩形廠房一面的邊長(zhǎng)；（2）矩形廠房利用舊墻的一面邊長(zhǎng)x≥14.

問如何利用舊墻，即x為多少米時(shí)，建墻費(fèi)用最��？（1）（2）兩種方案哪個(gè)更好？

Answer 1

分析：以建墻費(fèi)用為目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)討論函數(shù)的最小值來(lái)解決本題.

解：設(shè)利用舊墻的一面矩形的邊長(zhǎng)為x，則矩形的另一面邊長(zhǎng)為米.

（1）利用舊墻的一段x米（x＜14為矩形一面邊長(zhǎng)，則修舊墻費(fèi)用為x·元，將剩余的舊墻拆得的材料建新墻的費(fèi)用為（14-x）·元，其余建新墻的費(fèi)用為（2x+-14）·a元.故總費(fèi)用為y=·a+·a+(2x+-14)·a=a(+-7)=7a(+-1)(0＜x＜14),

∴y≥7a［2-1］=35a,當(dāng)且僅當(dāng)=即x=12米時(shí)，y_min=35a.

（2）若利用舊墻的一面矩形邊長(zhǎng)為x米（x≥14）,則修舊墻的費(fèi)用為·14=a元，建新墻的費(fèi)用為（2x+-14）a元，故總費(fèi)用為y=a+(2x+-14)a=a+2a(x+-7)(x≥14).

∴y′=2a(1-)=,當(dāng)x≥14時(shí)y′＞0.

∴函數(shù)y=a+2a(x+-7)在［14，+∞］上為增函數(shù).故當(dāng)x=14時(shí)，

y_min=a+2a(14+-7)=35.5a.

綜上討論知：采用第（1）方案，利用舊墻12米為矩形的一面邊長(zhǎng)時(shí)，建墻總費(fèi)用最省，為35a元.